联合概率和条件概率的区别和联系
两个变乱一路（或依次）产生的概率。
例如：掷硬币的概率是 ¹⁄₂ = 50%，翻转 2 个公道硬币的概率是 ¹⁄₂ × ¹⁄₂ = ¹⁄₄ = 25%（这也可以懂得为 50% 的 50%）
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
对付 2 个硬币，样本空间将是 4 {HH,HT,TH,TT}，假如第一个硬币是 H，那么残剩的成果是 2 {HT,HH}。 这意味着第一个变乱可能会影响第二个变乱。
例如：从 10 个分歧色彩的球中选出 1 个绿球的概率是 ¹⁄₁₀， 10个球中选2个绿球的概率（2个绿、2个蓝、2个红、4个黄）²⁄₁₀ × ¹⁄₉（这个分列组合会更清晰）
简而言之。 当第一个变乱的产生影响第二个变乱的产生时，它们是相关变乱。
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A)
这里，P(B|A) 被读作 在 A 之后产生 B 的概率。这是当 A 变乱已经产生时产生 B 变乱的概率。 这称为前提概率。
例：城市中的一个三角形区域被化学工业污染。 有2%的孩子住在这个三角区。 此中 14% 的检测过量有毒金属呈阳性，而不在三角区栖身的城市儿童的阳性检测率仅为1%。
斟酌： T 表现栖身在三角形区域的人，而且P 表现检测呈阳性的人。
当它说区域中 14% 的孩子测试为阳性时，这意味着：假如从三角形中随机抽取一个孩子，它将有 14% 的机遇测试为阳性。 这是 P(P∣T)
P(P∩T) 的解释是自整小我口中随机选择后即在三角形中而且测试为阳性的概率。
P(A∩B) 是 A 和 B 都产生的概率（没有任何附加信息。）
P(A|B) 是假如我们知道 B 已经产生，A产生的概率。
让我们经由过程一个例子来懂得它。一个班有60论理学生。 33个喜欢蓝色，23个喜欢赤色，20个学生喜欢这两种色彩，4个学生喜欢橙色。
1、选出一个同时喜欢红和蓝色彩的学生的概率是若干。
这异常简单：P(B ∩ R) = ²⁰⁄₆₀
2、从喜欢赤色的学生中选出一个喜欢蓝色的学生的概率是若干。
我们将反省从特定学生集中选择具有特定选择的学生的概率。
⇒ 喜欢赤色的学生有 23 人。此中有 20 个喜欢这两种色彩。
P(B | R) =²⁰⁄₂₃
经由过程维恩图和上面的例子，我们可以说在这两种环境下，变乱的成果都没有转变，但样本空间正在削减。是以，
(∣) ≥(∩)
例子1：
假设掷两个骰子，第一个获得6第二个获得4的概率是若干? 假设掷两个骰子，假如两个骰子的数字之和是10，第二个骰子显示4的概率是若干?
在第一种环境下，没有给出界说样本空间的前提。以是我们从两个骰子中取可能的成果，也便是36。
P(a∩b) = 2/36
在第二种环境下，对付样本空间有一个前提，即骰子上的两个数的样本空间总和为10。样本空间的总元素只有3 {4+6,5+5,6+4}
P(a | b) = 1/3
例子2：
一小我正在过马路，我们想计算他被途经的汽车撞到的概率，这取决于交通灯的色彩。
设H代表这小我是否被撞，C代表红绿灯的色彩。
H ={撞,不撞}
C ={红、黄、绿}。
在这种环境下，你被撞到的前提概率是概率P(H=撞到|C=赤色)，即假设灯是赤色的，你被车撞到的概率有多年夜。
纵然不是红灯，也有可能有人被撞到，但这里我们只斟酌红灯时产生的车祸。
而结合概率则是P(H=撞到，C=赤色)，即红灯亮时你被车撞到的概率。
假设一小我横穿马路 3 次而没有产生事故。但第7次被撞了。 假如使用结合概率，我们还想知道当他被撞时灯是赤色的概率是若干。
如今假如我们说，他在红灯时过马路10次，被车撞了7次。 在这种环境下，样本空间的前提是已经给定的。
例子3：
研讨职员查询拜访了100论理学生，扣问他们最想拥有哪种超才能。这个双表格显示了介入查询拜访的学生样本的数据:
我们来找出分歧的概率;
1、找出学生选择飞行作为他们超才能的概率。
没有给出样本空间的前提。我们取所有学生(100)来计算概率。
P(fly) = 38/100 = 0.38
2、求出该学生是男性的概率。
同样，没有给出样本空间的前提。我们取所有学生(100)来计算概率。
P(male)= 48/100 = 0.48
3、求选择飞行作为超才能时，这个学生是男性的概率。
这很有趣，这个问题的样本空间是一群想要飞行的学生。
n (S) = 38
38论理学生中有26名是男性。以是
P(male∣fly) = 26/38 = 0.68
或者用前提概率公式
P(male∩fly) =选择飞行男生/总人数= 26/100
P(male∣fly)= P(male∩fly)/ P(fly)= 26/38 = 0.68
4、假设该学生是男性，求出该学生选择飞行的概率。
这和上一题差不多。这个问题的样本空间为n(S) = 48。在48论理学生中，有26人选择飞行。以是
P(male∣fly) = 26/48 =0.68
5、I代表一个学生选择隐身作为超才能的变乱，F代表一个学生是女性的变乱。
解释P(I∣F)≈0.62的寄义;
a、年夜约62%的女性选择隐身作为她们的超才能。
b、在选择隐身作为本身超才能的人中，年夜约有62%是女性。
解释如下：
n(S) =所有女性，I∣F可以被解读为在所有女性中选择隐身的人。
总的来说，我们可以懂得为年夜约62%的女性选择隐身作为她们的超才能。以是表述a是正确的。
例子4：
下表是将列国按地域和均匀创业本钱(占某一年人均公民总收入(GNI)的百分比)进行了分类。
斟酌到假如该国的创业本钱归类为高，那么找出该国位于南亚地域的概率。
这个问题属于前提概率，由于给定了选择样本空间的前提：创业本钱高的国度 n(S) = 87（样本空间）， 以上样本空间中的南亚地域国度，即创业本钱高的国度：7
以是，从创业本钱高的国度中选择南亚地域国度的概率= 7/87
假如我们用前提概率的公式
我们可以先计算 P(A ∩ B)，即从所有南亚地域且创业本钱高的国度中选择一个国度的概率。
如许的国度有7个。 因为没有界说选择样本空间的前提，我们将采纳全体空间，即 n(S) = 188。
P(A ∩ B) = 7/188
如今，我们必要计算一个国度创业本钱高的概率。 这很简单
P(A) = 87/188
使用公式 P(B|A) = 7/87
愿望本文可以解释结合概率和前提概率之间区别和接洽，感激浏览。
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