看一篇数学论文时，我们在看什么。“论”一个数学家的基本素养

数学论文有着异常奇特的文体，这是在 20世纪初树立起来的。一篇典型的数学论文通常都是情势的和非情势的写作的混合物。在抱负环境下（但绝非老是如斯），作者要写一个可读的弁言，奉告读者他能在本文余下的部门里读到什么。假如文章分成几个部门，绝年夜多半文章，除非太短都邑分成几个部门，则若每一部门都以下面的论证的非情势的年夜纲开端，那对付读者就会很有赞助。然则文章的主要实质部门应该是比拟情势、比拟具体的，使得假如读者盘算花上充足的力量，他就能说服本身∶这篇文章是正确的。

一篇典型的论文的目标是树立起一些数学命题，有时目标仅在于此。例如，论文的代价便是它证实了一个 20年没有办理的料想。有时，树立这些数学命题是为了一个更普遍的目的，例如解释一小我们懂得不够的数学征象。然则，不管是哪一种，数学命题都是数学的主要代价地点。

命题中最紧张的通常称为定理（theorem），然则也有些命题就称为命题（propositon），还有时叫做引理（lemma）、推论（corollary）。这些种类的命题很难作清晰的划分，然则它们的字面意思也就阐明了怎样区分。定理便是您以为是具有内涵的兴致的命题，它可以从一篇论文里抽出来，例如用来对同伙们讲，在讨论班上作申报。成为论文的主要目的的命题通常就叫定理。一个命题实在也便是一个定理，然则它们时常有点令人“腻烦”。论文里面要去证实令人腻烦的成果，听起来有些奇异，然则它们可能是紧张并且有效的。它们令人腻烦，是因为它们怎么也使人惊异不起来。它们便是那些我们必要、也愿望其为真、证实起来也没有艰苦的定理。

下面是一个简单的例子，是一个可能更乐意称之为命题的定理。二元运算“*”的联合律指出∶

我们时常把这个定律非正式地说成是“括号不起作用”。然而，只管它奉告我们，直接写x*y*z也不会引起歧义，可是，假如说a*b*c*d*e也不会引起歧义，就不那么显而易见了。我们怎么知道仅仅由于在三个工具的环境下，括号的地位没有影响，则在多于三个工具的环境，括号也不起作用。

很多学数学专业的年夜学生读完了年夜学，还没有注意到这照样一个问题。彷佛联合律就表现括号不起作用。他们根本上是对的，固然并不完全显然，然则证实这一点不会给人带来惊喜，并且成果是很容易证实的。由于我们时常会必要这个简单的成果，又很难称它为定理，把它称为一个命题也照样得当的。

当证实一个定理时，证实时常过长也过于繁杂。这时，假如愿望有人乐意读下去，就必要使证实尽可能清楚。最好的办法莫过于树立一些子目的，其情势便是位于假设和我们想获得的结论之间的一些中介的命题。这些命题时常就称为引理。举一个例子∶假假想对根号2是一个无理数的尺度证实给出一个异常具体的表述。有一个必要的事实便是∶

每一个分数 p/q都即是一个分子分母分歧时为偶数的分数，即可将p/q写成r/s，此中r和s不克不及满是偶数，而这个事实也必要证实。

为清晰起见，你会决议把这个证实从主要的证实中分别出来，并称之为一个引理。如许，就把本身的事情分成了两个离开的事情∶一是证实引理，二是用这个引理去证实主要的定理。可以把这个做法与写计算机法式平行对比起来∶当写一个繁杂的法式的时刻，一个好方法是把主要义务分成一些子义务，而且各写一个小法式，把这些小法式当成“黑盒子”，以便在用得着的时刻让法式的其他部门去拜访它们。

有些引理很难证实，并且在分歧的配景下也用得着，以是最紧张的引理比那些不甚紧张的定理可能更紧张。然而有一个一样平常的规矩，假如证实一个成果的主要理由在于把它用作证实其他成果的踏脚石，那就把这个成果称为引理。

假如一个数学命题可以容易地从另一个命题导出，就称它为另一个命题的系（或者直接就说是其推论），有时，一个主要定理后面接着几个系，借以阐明这个定理的力气。有时，主要定理也叫做系，由于证实的所有事情都是为了证实一个分歧的、不那么简洁有力的成果，而主要定理可以由它很容易地得出来。假如产生了这种环境，作者应会阐明，这个系是论文的主要成果，而其他作者则会称之为定理。

一个数学命题是经由过程证实来确立的。数学的一个最值得注意的特色就在于可以有证实，例如，一个由欧几里得在年夜约两千多年前创造的论证在本日仍旧被接受为完全有说服力的证实。然而，一直到19世纪末和20世纪初，这个征象才为人适当地舆解，便是直到数学语言被情势化以后。到那时他才可能把证实的观点弄明白。从逻辑学家的概念来看，所谓证实便是一连串的数学命题，每一句都用情势语言写成，并且具有以下的性子∶

最前几个命题是初始的假设，或称条件；这一串中的别的命题依据逻辑的规矩，从它们前面的命题得出，这些逻辑规矩又如斯简单，以是这些推导都清晰地是有用的；

这一串命题的末了一个便是想要证实的命题。

对付现实呈现在一篇规范化的数学论文，写在“证实”这个题目下的器械，只是上述关于证实的思惟的抱负化。这是由于一个纯洁情势化的证实将是冗长而险些无法卒读的。只管如斯，论证在原则上可以情势化这个事实，为数学年夜厦提供了异常有代价的支持，由于它给出相识决争论的道路。假如一位数学家给出了一个奇异的没有说服力的论证，要看它是否正确，最好的办法便是请他或她作出加倍情势化、加倍具体的解释。如许做，要么会裸露失足误，要么会使得这个论证加倍清晰。

界说

数学论文的另一个异常紧张的身分是界说。举例来说，假如要证实一个关于三角形的定理，并且老是必要用到从一个极点到对边的间隔，这就麻烦了，由于总必要说“从A，B，C分离到BC，CA，AB的间隔”，如许，就不如选择一个词“高”，而且写道∶“给定三角形的一个极点，界说其高为从一个极点到它的对边的间隔”。假如斟酌的三角形是钝角三角形，就得当心一点，写道∶“给定三角形ABC的极点A，界说其高为由A到经由过程B，C两点的独一直线的间隔”。从此以后，就可以使用“高”这个词，而不必说上那一年夜段话，行文就简练多了。像如许的界说不外是为轻便而给定的界说。

然则，真正有趣的界说是不那么显然，而是一旦有了它，就会用新的方式来思虑的那种界说。一个很好的例子便是函数导数的界说。假如你不知道它，对付若何求实的函数

到达最小的正的 x，你的思惟便是一片空缺。假如你知道了它，这个问题就成了一个简单的习题。这可能有点浮夸，由于你还得知道，这个最小值会呈现在导数为0处，你还得知道若何微分f（x），但这些都是简单的事实，真正的突破是在观点自己。

像如许的界说有很多例子。然则有趣的是，在数学的某些分支里面，它们比在其他分支里面加倍常见。有些数学家会奉告你，他们的研讨的主要目标就在于找出正确的界说。有了这些界说，他们的整个范畴就被照亮了。确切，他们必需要去写证实，然则，假如界说恰是他们所探求的，证实时常会是相称刀切斧砍的。是的，有他们能用这些界说来办理的问题，然则，就和上面的极小化问题一样，这些问题对付整个理论并不是中心，说这些数学家是在展现他们的界说的力气更适当些。对付另外一些数学家，界说的主要目标在于证实定理，然则，乃至这些异常的以定理的证实为导向的数学家时而也会发现，一个好的界说对付加强办理问题的本事起了重年夜的作用。

这就把我们领导到（怎样对待）数学问题。一篇数学论文的主要目标通常都是证实定理。然则，读文章的主要理由之一倒是为了推动本身的研讨。以是，假如一个定理是用了一种可以用于其他配景的技能，那么这篇文章是会受迎接的。假如一篇文章里面包括了好的未办理的问题，它也会受到很年夜的迎接。作为一个例证，我们来看一个绝年夜多半数学家都不会认真看待的问题，借以从中看到这个问题缺少了些什么。

一个数称为回文数，假如它的十进表达式是回文的情势∶22，131和548845都是回文数的例子。131是有趣的，由于它是一个素数。让我们试着来找更多的素回文数。一位的素数当然都是回文的，而二位回文数必以11为因子，以是，只有11自己是素数。如许，我们很快就到了三位数。这里有几个素回文数的例子∶101，131，151，191，313，353，373，383，727，757，787，797，919和929。不丢脸到，所有偶数位回文数都以11为因子。然则，素回文数并未止于929。例如，10301便是下一个最小的素回文数。

如今，任何一位稍有一点点好奇心的人都邑问∶是否有无穷多个素回文数。成果是，这居然是一个未办理的问题。人们信任是有无穷多个素回文数（这是基于素数应该是充足随机的，而奇数位的回文数也看不出有分外的理由必定就有因子），然则谁也不知道若何去证实它。

这个问题有一个很年夜的长处，便是它很容易懂，这使它很吸惹人，但费马年夜定理和哥德巴赫料想不也恰是因为很容易懂而吸惹人吗。然则这个素回文数的问题并不像后两个问题那样，不克不及成为中心的问题。绝年夜多半的数学家会把它放进“休闲数学”或者“数学游戏”如许的智慧宝盒里去，然后就忘得一干二净。

这种摈弃的立场的理由安在呢。岂非素数的研讨不是数学的中心工具吗。确切是的，然则回文数却不是，其以是不是的主要理由在于“回文数”的界说极度地不天然。假如知道了一个数是回文数，则与其说是知道了这个数的特征，不如说知道的是表现这个数的方式的特征，而因为汗青的缘故原由，我们正好是采纳了这个方式。分外是，具有回文数情势依附于我们拔取了以10作为记数的基底。设若以3位记数法的基底，131这个数将写成11212，倒过来写就纷歧样了。

这个说法固然有必定的说服力，却不是完备的解释，由于有可能某些有趣的性子恰是扳连到 10 的。下面再举一个例子，形如

的素数是否有无限多个，这个问题被以为是有趣的，固然此中使用了一个分外的数2，选用2是有合法理由的。

由于若取 a>2，则a^n-1恒有因子a-1（它是一个年夜于1的正整数），以是，除非n=1，a^n-1必定不是素数。是以，形如 a^n-1的素数是否有无限多个?这个问题的谜底必定为否。此外，形如2^n-1的数还有很多性子，使它们更可能是素数。

然则，即令把10换成一个公众更天然的公众数2，而且来看那些回文数写成二进制后怎样，那也还得不到一个会被当作严肃的研讨主题的性子。设给定一个正整数 n，界说 r（n）为其倒置数，便是先把它写成二进制，再倒置顺序来写，如许获得的数。这时，一个二进制意义下的回文数，便是使得n=r（n）的数 n。然则，函数r（n）长短常独特并且“非数学”的。举例来说，从1到20这些数的倒置数依次是∶1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，13，3，11，7，15，1，17，9，25，还有5，这给出了一个看不出任何模式的序列。

现实上，当我们计算这个序列时，就会看到它比初看起来还加倍是工资的。人们可能会想，倒置数的倒置数便是这个数自己，然则否则。例如取数10，它在二进制中是1010，以是其倒置数是0101，便是5。然则在正常环境下，5是会写成101的，以是5的倒置数仍旧是5，而不是10。然则，我们又不克不及划定把5写成0101，由于如许一来5就不是回文数了，而它应该是的。

这是不是意味着没有人会有兴致去证实确有无限多个素回文数了。完全不是。可以很容易地证实小于n的素回文数的个数在根号n邻近，与n比拟，这只占一个很小的部门。在如许稀少的聚拢里面去证实关于素数的成果，是可贵出了名的，以是办理如许一个料想将是一个突破。然而“回文数”的界说其实太工资做作了，以是无法在一个数学证实里具体地使用这个界说。办理这个问题独一实际的愿望是去证实一个普遍得多的一样平常成果，使这个问题成为其很多推论里的一个。如许一个成果将是奥妙的，无能否认是有趣的。然则假如总在想着回文数，是发现不了它的。以是最好试一试去提出一个加倍一样平常的问题，或者去找一个更天然的这一类的问题。后一方面的一个例子是∶有没有无限多个素数可以写成m²＋1的情势。这里m是一个正整数。

一个好问题的最紧张的特征可能就在于它的一样平常性∶一个好问题的解答，时常会超出这个问题而有很多分支。对付这种使人愉悦的性子，大概公众可一样平常化"大众是一个更精确的字眼，由于一个极好的问题可能看起来很特殊。例如公众根号2是一个无理数”这个命题只是关于一个数的。然则一旦您知道了怎样去证实它，对付怎样证实根号3也是无理数就不会有艰苦了。事实上，这个证实可以推广到普遍得多的一类数。很常见的一种环境是∶一个好问题，在您开端去想以前，看起来是没有什么意思的。然后就会领会到，问如许的问题是有事理的∶它可能是一个更一样平常的问题的“第一个艰苦的环境”，或者是一年夜堆问题的选择得很好的例子，而在这些问题里都邑赶上雷同的艰苦。

有时，一个问题就只是问一件事，然则一个想去问一件数学上的工作的人，心里对付谜底若何已经会有一个好主见了。一个料想便是作者坚信但又无法证实的数学命题。和对付问题一样，有些料想好于其他的，一个最好的料想对付数学研讨的偏向会有重年夜的影响。